引力弹弓效应是怎么回事？

最近热映的科幻大片《流浪地球》让引力弹弓的名字再次进入了公众的视野。在同名小说中，刘慈欣把地球的流浪分为五个阶段：首先让地球停止自转（刹车时代），然后通过推进器和引力弹弓效应推动地球离开太阳系（逃逸时代），推动地球加速飞向比邻星（前流浪时代），让地球减速飞向比邻星（后流浪时代），使地球成为环绕比邻星的行星（新太阳时代）。在同名科幻电影中，重点表现了逃逸时代中利用木星引力弹弓效应时遇到的各种危险。那么，我们通过什么方式才能离开太阳系呢？影片中表现的引力弹弓效应又是怎么回事呢？逃离太阳系我们首先来讨论：如果要把地球推离太阳系，需要多大的速度。我们知道，地球在围绕太阳做近似圆轨道运动，太阳对地球的万有引力提供圆周运动的向心力。我们通过万有引力和向心力公式可以求出地球的公转速度是30km/s，也就是说，每秒钟地球会在公转轨道上运动30千米，虽然我们一点感觉也没有，但是我们的确每时每刻都随着地球一起高速运动。如果地球速度增加一点，地球就能挣脱一点太阳的束缚，渐渐远离太阳。但是如果速度增加的不够，地球又不能完全脱离太阳的引力，所以最终还会回到出发点。也就是说，速度增加之后地球会做一个以出发点为近日点的椭圆轨道运动。在《流浪地球》中，刘慈欣安排了巨型推进器，推动着地球加速，于是地球的轨道就越变越大。假如地球在现在的位置速度增加到42km/s，也就是公转速度变为原来的根号2倍，地球的动能就足以克服太阳的吸引力，从而摆脱太阳的束缚，飞向星际空间。但是地球的质量太大了，想通过推进器做到这件事非常困难。别说是那么大个的地球，就是小型的宇宙飞船、人造卫星，想完全依靠自身的动力摆脱太阳的引力，人类都还没有做到。其实，人类探索宇宙的过程，非常像几百年前的大航海时代。人们无法凭借划桨船横渡大洋，但是借助风力帆船，人们轻松的实现了环球旅行，发现了新大陆。同样，宇宙中也有这样的“风力”，那就是引力弹弓。引力弹弓效应为了理解引力弹弓，我们首先需要大家设想一个简单的物理模型：质量很大的球和质量很小的球发生弹性碰撞。比如一个铅球和一个乒乓球碰撞，两个球都有很好的弹性，碰撞过程不会损失能量。假如最初铅球是不动的，乒乓球以速度Vo撞向铅球，会发生什么呢？显然，由于铅球质量非常大，碰撞后铅球几乎还是静止的。而乒乓球会发生反弹，并且反弹的时候速度大小还是Vo，保持不变。现在，我们让铅球也动起来：假如最初铅球是朝向乒乓球以速度V1运动的，乒乓球还是以速度V0飞来，又会发生什么呢？我们不妨这样设想：假如有个小人坐在铅球上，他会感觉铅球是静止的，而乒乓球向自己飞来的速度是V1 V0，根据刚才的讨论，当乒乓球反弹后，他会观察到乒乓球离开自己的速度大小不变，还是V1 V0。也就是说：在铅球上的人看来，乒乓球向右反弹的速度是V1 V0。但是，如果我们回到地面参考系，情况就不是这样了。由于铅球本身有一个向右的速度V1，所以乒乓球反弹的速度应该是V1和V1 V0的叠加，也就是说，地面上的人看来，乒乓球反弹的速度会变成2V1 V0大家看，乒乓球来的时候速度是V0，反弹之后速度变成了2V1 V0，速度变大了2V1。这是因为在碰撞过程中，铅球的一部分能量转移到了乒乓球上。由于铅球的质量远远大于乒乓球，这一点能量的损失对铅球的速度几乎没有影响，但是却可以让乒乓球获得很大的速度增加。也有人把这个过程比作是有人朝着行进的火车扔小球：如果球的速度是100km/h，火车的速度也是100km/h，那么当球反弹的时候，速度最大会变成300km/h。在《流浪地球》中，地球是依靠木星的引力弹弓效应进行加速的。这是因为木星的质量是地球的318倍，就好像刚才的铅球。而地球的质量很小，就好像刚才的乒乓球。地球可以从木星偷一点能量，使自身获得很大的速度增加，但是木星几乎没什么感觉。只不过，在引力弹弓效应中，两颗星球并没有真的碰撞，能量交换的过程是通过引力完成的。在靠近木星的时候，地球会因为木星引力的作用做双曲线运动。如果在木星参考系下看，地球飞来的时候速度与飞走的时候速度一样大，都是V0。不过，在太阳参考系下看，木星本身是具有速度的。假设在太阳参考系下，木星的速度是V1，那么地球飞进木星引力和飞出木星引力时候，地球的速度实际上是木星速度V1和相对于木星的速度V0的叠加。速度是矢量，满足矢量叠加法则：以两个速度为邻边做平行四边形，再把对角线连接起来，就是合速度。从上面的图我们就能看出，虽然在木星看来，地球飞过来和飞走时候的速度都一样大，但是在太阳参考系下看，地球飞出木星引力范围时速度变大了。变大的程度取决于地球入射时的角度。木星的公转速度是13km/s，极端情况下地球通过引力弹弓获得的速度增量可以达到两倍木星速度，即速度增大26km/s，这个速度的增量是非常可观的。如果我们想通过化学能源把地球加速到这么大可能需要很久很久，现在只需要在木星旁边轻轻走一圈就实现了。人类推动地球很难，木星推动地球却很容易。在宇宙中，质量就是王道。引力弹弓效应的应用引力弹弓绝对不是只存在于科学家的头脑和科幻电影之中，而是早已经被人类掌握的空间技术。最早提出这个技术的人是苏联科学家尤里·康德拉图克,他在年左右发表的论文《致有志于建造星际火箭而阅读此文者》中提出了引力助推的概念。此人还设计了人类登月的方式，并最终被美国宇航局采纳，阿波罗号宇宙飞船就是基本按照尤里的设想建造的。（尤里，这个名字让人联想到一个游戏）不过，引力弹弓的轨道设计需要大量计算，它的正式应用是在大约50年之后。年，加州大学洛杉矶分校25岁的研究生迈克尔·米诺维奇使用当时最先进的IBM计算机研究三体问题，顺带计算了一下引力弹弓的轨道。他惊奇的发现，在年代末期，太阳系会提供一次绝佳的引力弹弓的机会：木星、土星、天王星、海王星都位于太阳的同一侧，如果发射一颗人造卫星，依次利用这四颗星球的引力弹弓加速，就可以在12年内，用很少的燃料探访这四颗星球。如果错过了这个时机，下次就要再等上176年。他赶紧把自己的发现告诉了NASA。在他的游说下，NASA开始了航海家号计划，年NASA先后发射了旅行者二号和旅行者一号卫星。如今，两位旅行者都已经完成了各自的使命，并且已经在宇宙中遨游了42年，它们已经成功的借助引力弹弓效应飞到了太阳系的边缘。现在，旅行者一号距离太阳有140多倍日地距离，它是距离我们最远的人造天体。目前它们还可以和地球进行联络，但是以光速传播的电磁信号也需要19个小时才能到达地球。在旅途中，两颗卫星近距离的掠过了木星和土星，拍摄了大量珍贵的照片传回地球。（旅行者一号拍摄的木星大红斑）在年，旅行者一号完成了太阳系的全家福照片，其中有一张照片刚好把地球包含在内。在这张照片上，地球不过是一个暗淡的蓝点，我们不禁感慨，人类千万年的王朝更替沧海桑田，璀璨的文明和无数的先贤智者，也不过都发生在这一粒宇宙的尘埃之上。除了旅行者号，伽利略号、卡西尼号、信使号、尤里西斯号等空间探测器都用到了引力弹弓效应，这种效应在空间技术中越来越普遍。甚至有人把引力弹弓称作是“宇宙中的高速公路”

引力弹弓是在无推力的情况下，改变星际飞行器的速度和轨道的有效方法。引力弹弓属于典型的三体问题，从理论上来说，在数学上只能用近似的数值方法求解，而且非常复杂。在这里，只是用最简单粗暴的方法进行简化，用图解方式来定性说明引力弹弓的原理。典型的引力弹弓情况如图一所示，天体A是老大，B是跟班，而C则是星际飞行器。因此从质量上说，A远大于

B，而C的质量很小，对

A、B的影响可以完全忽略不计。这么一来，忽略C的引力之后，这个三体问题就简化成限制性三体问题了。pic1引力弹弓发生之前的运动状态在这个图中，因为B的质量远小于

A，那么B的引力通常情况下也远小于
A。因此，在B的周围假想了一个引力界限。在这个界限外，简化为只有A的引力起作用，而在这个界限之内，则是B的引力独占。这样，经过这个有些过分的简化，三体问题就变成了几个两体问题的合并。上图中，B是围绕着A运动，而C则是在A的引力作用下运动。如果C不进入B的引力界限，那么C无论是作圆周运动，或者沿椭圆、抛物线，或者双曲线运动，都和B无关。比方说，天体A是地球，天体B是月球的话，绕地球的人造卫星的运动和月球的关系就很小，不作精确计算的话可以忽略。而绕月球运动的卫星，比如现在的嫦娥2号，其运动由月球引力决定，和地球的关系也不需要过多关心。但是，如果飞行器C在飞行过程中靠近了

B，进入了引力界限，那么C的速度和轨道就会发生很大变化，只要C不撞到B上，此时引力弹弓效应就必然会发生。为了方便，再来一次简化，就是假设C在B的引力界限内的运行时间很短，相对于B和C环绕A的运动来说可以认为是瞬间完成。这个简化虽然粗暴，但还不算离谱，比如说月球绕地周期是20多天，而嫦娥2号在月球附近的减速那段其实就几十分钟，相对20多天来确实是很短的。为了讨论C在B的引力界限内的运动，先用图2讨论一下引力场中的能量问题。pic2引力场中的-圆锥曲线轨道在引力场中，环绕中心天体的运行轨迹总归是圆锥曲线中的某一条。因为引力是所谓的保守力，在引力场中，动能 势能的值是个守恒量。一般在引力场中，都是取无穷远处的势能为

0，也就是说，实际上势能总是个负数。对圆轨道来说，势能=-2x动能，总能量
0。对于上面的简化中，B的引力界限之外，就马马虎虎可以当作无穷远处来对待了，也就是势能=
0。飞行器C在那里的速度显然大于

0，因此动能>
0。那么当然飞行器C在进入B的引力界限内，总能量>
0。也就是说，C在B的引力界限内，相对于B走的必然是双曲线轨道。除非C一头撞到了B上，比如苏联的月球2号，就是第一个实现了直接撞月。否则，B是捕捉不到C的，C能飞进来就一定会飞走。对应这次嫦娥2号奔月的过程，嫦娥2号就必须在接近月球的时候，开动卫星上的发动机进行近月点减速，把速度降下来，从而把总能量变成<

0，这样才能够进入环月轨道。而已经没有动力的发射嫦娥2号的长征火箭的第三级，则是从月球附近擦肩而过，又飞走了。长征火箭的第三级就经历了一次典型的引力弹弓。下面的图3是典型的引力弹弓减速的情况。为了简化，C处在天体B的环绕中心天体A的轨道平面上，图中以天体B为参考系。pic3C在B的前方飞过，C相对于B作双曲线运动，显然是对称的，也就是说进入引力界限时候相对于B的速度和离开引力界限时候相对于B的速度的大小是一致的，只是方向变化了。这种相对运动用红色箭头标出。但是，天体B相对于A具有速度VB，那么C相对于中心天体A的速度就应该是VB和相对于B的速度的合成。图中，相对于中心天体的速度用蓝色标出。显然，如图中所示，C相对于A的速度在经过B的引力界限之后减少了。这就是典型的利用引力牵引实现减速。C的动能在这个引力牵引中显然是减少了，这些动能传递给了
B。不过因为C的质量相对于B可以认为是

0，因此B的动能增加和速度改变可以忽略。顺便说一下，这张图也表明，环绕地球运行的天体，是不可能被月球俘获变成月球卫星的。以怎样的速度飞近，就会以怎样的速度远离。从地球上发射的探测器，要想成为月球卫星，就非得进行近月减速不可。这种引力牵引减速的例子，在太阳系中广泛存在，比如木星族彗星就是典型。从太阳系远处飞来的彗星常常会被木星的引力减速后俘获。虽然不会变成木星的卫星，但它们会运行在绕太阳的椭圆轨道上，而且远日点都接近于木星轨道。pic4图中，TempelI、Hartley2，还有Holmes（这个就是年大爆发的那颗彗星）。可见它们的轨道远地点都很接近于木星（Jupiter）的轨道。而哈雷彗星Halley则不是这样，它属于海王星族彗星。pic5阿波罗奔月过程中，也是利用了月球引力的减速效应。当然，为了进入环月轨道，必须在LOI点进行火箭发动机点火制动。pic6引力加速在进行引力加速的时候，C从天体B后方飞过。同样的，在以B为参考系的考察中，C仍然走一条对称的双曲线，以红色标示的速度的大小，进入时刻和飞离时刻是一样的，只是方向变化了。但是相对于中心天体，把B环绕中心天体的速度加入进行速度合成之后，用蓝色标示出天体C相对于中心天体A的速度。显然，由于角度的变化，C相对于中心天体的速度增加了。从能量角度来说，这些增加的能量都来自于

B，不过因为C质量太小，所以B的能量变化也可以忽略。pic7旅行者1、2号飞行轨道示意图旅行者1号、2号的飞行过程中，就利用了引力弹弓进行加速。pic8旅行者2号速度图图片显示出，旅行者2号刚发射的时候，其速度还不足以达到太阳系的逃逸速度，只是在经过木星的引力弹弓加速后，才开始超过这个逃逸速度的。当C接近于天体B的时候，速度会比飞离引力范围时候还大，比如速度图中，在每个行星附近都有一个速度峰值，然后又会有所减少。但是总的算起来，旅行者2号在木星和土星处是大大地增加了速度。在天王星处有轻微的引力加速，而在海王星处则是有引力减速。旅行者2在海王星处的飞行不是简单的同一轨道平面内的加速或减速过程，而是有轨道倾角的较大变化，轨道平面和黄道面的夹角从约2度增加到了约78度。这是利用引力弹弓进行变换轨道平面，这个图不是“顶视图”，而是“横截面”。pic9轨道平面改变如图中所示，C本来的运动速度和B的轨道平面夹角并不大，但是进入B的引力范围之后，速度方向发生了变化。因此在飞离B的引力范围后，C的运动速度就和B的轨道平面有了很大的夹角，得到了垂直于原来轨道平面的很大的一个速度分量。从而C会进入一个和B的轨道平面相差很多的轨道平面。嫦娥1号和2号因为要对整个月球进行照相，所以都选择了环绕月球的极轨轨道。这个轨道平面和月球绕地球的公转轨道平面近乎有个直角的差别。嫦娥1号和2号的加减速和轨道变化要远比简单的这些图复杂得多。尤利西斯太阳极区探测器就是利用引力弹弓进行了轨道平面改变从而进入太阳的极轨轨道的，其相对于黄道的倾角近乎直角。pic10尤利西斯轨道变换简图pic11尤利西斯的最终轨道图一般总是说地球的逃逸速度是11.2千米/秒，超过这个速度就可以进入环日轨道成为人造行星。实际上，这是要借着地球公转速度30千米/秒的顺风车的。附带的效果就是人类到现在的几乎所有行星际探测器都是在黄道面上的。而像尤利西斯太阳极区探测器这样的，因为速度和地球公转速度成直角，如果直接发射的话，则根本不能借助地球公转速度，发射的总的速度增量要超过40千米/秒，这个对火箭的要求就太高了。因此，尤利西斯探测器采取了借助木星来改变轨道平面的方法。从地球发射后，尤利西斯基本上在黄道面上飞行，和木星交会时候，处于木星的极区，借助木星的引力弹弓把轨道平面几乎翻转90度，进入一个倾角接近90度，远日点接近木星轨道的新轨道，从而成为人类第一个能探测太阳极区的探测器。另外看这个：引力加速简单地说，就是在相会的过程中，中心天体拉扯着飞行器向前飞行。动能由中心天体传递给飞行器。引力减速简单地说，就是在相会的过程中，飞行器拉扯着中心天体向前飞行。动能由飞行器传递给中心天体。

引力弹弓是大质量天体对小质量飞行器的一种加速效应。这种加速效应基于动量守恒。当一个飞行器经过一个大质量天体，比如行星，运动方向会被天体的引力偏转，如果飞行器速度足够不被天体捕获，那么就会在被天体偏转一定角度后飞离该天体。而飞行器在靠近天体和远离天体时会受到天体重力加速度的加减速，加速和减速是对称的，所以飞行器离开时与靠近时与天体的相对速度是一样的。但是由于天体本身存在速度，比如绕恒星公转的速度和自转的速度，而飞行器最终与天体相对速度不变，因此当与天体运动方向不同方向靠近然后以天体运动方向离开时，就会得到天体的公转速度。比如用效率最高的情况，飞行器以天体公转反方向进入天体引力场，偏转方向后从天体公转方向离开，那么它将增加天体公转速度两倍的速度，见下图：由于靠近前和离开后，飞行器与天体的相对速度不变，但是方向相反了，因此速度将变成原有速度
V 天体公转速度U×
2。由于动量守恒，飞行器增加的动量将降低天体公转的动量。当然在两者质量相差巨大的情况下，这种变化可以忽略不计。除了可以通过窃取天体公转动量做引力弹弓，其实也可以通过窃取天体的自转角动量做引力弹弓，只不过一般天体的自转并不太快，质量也不大，产生的空间拖拽效应并不明显。但当有中子星黑洞这样转得快的大质量天体就不一样了。比如电影《星际穿越》里，男主角库珀就利用了黑洞的自转做引力弹弓加速飞船。这是利用了广义相对论的一个现象：参考系拖拽。当大质量天体转动时，会对周围的空间产生拖拽，带动周围的空间跟着旋转，这就使空间产生一个指向转动方向的速度，利用这个就可以为飞行器加速了。不过电影里，当时飞船已经在黑洞的引力场里了，所以它并不能直接通过空间拖拽加速后脱离黑洞引力场，而是必须往黑洞自转的反方向抛射质量。结果就是电影看到的，把失去能量的推进器全抛掉，然后飞船才获得足够的动量飞往目标星球。

引力弹弓效应是什么？它是指，发射的宇宙飞行器，在经过行星（如木星等）时，如果角度等适当，可利用行星引力为飞行器加速，从而节省燃料。一般人会说：当飞行器朝向行星飞行时，由于受到行星的引力，因此能够加速，这好理解；但难以理解的是，当飞行器飞过行星以后，即飞离行星时，行星的引力会使其减速，正负抵消，似乎不可能起到加速作用。但其实利用弹弓效应时，飞行器并不是直线飞掠过行星，而是会在行星引力作用下绕着行星转一个弯，被行星带着向前飞一段，类似卫星绕行星运动。卫星围绕行星运动时，除了自身的速度外，它还和行星以同样的速度一起向前运动，当卫星运动方向与行星一致时，卫星的运动速度就是两者速度相加。不仅如此，精确的计算还会利用上行星的引力对飞行器加速，由于飞行器是作曲线运动，可使飞近和飞离行星的引力作用不一样大，因此不会产生上面所说直线运动完全抵消的情况，即使得加速作用大于减速作用。准确计算好角度、距离和速度，就可使得飞行器不会被行星捕获成为其卫星，只是被其带着向前飞一段，然后由于引力使速度增加，离心力也增加，故飞行器又被甩出去，但这时飞行器被甩出去的速度就是加上了行星运动的速度以及引力增加的速度。想象你奔跑着跳上一辆运动的火车（是那种一块平板的货车），上了车你仍以惯性向前跑，可你没想到，火车这时正好进入转弯，被火车带着向前运动了一小段后你又被离心力甩出了火车，此时你被甩出去的速度就是你原来跑的速度加上火车的速度。

在电影《火星救援》中，天体物理学家珀内尔报告了他的设想——让本应从火星返回地球的赫尔墨斯号飞船掠过地球时，借助引力弹弓，重回火星，营救马克。在电影《星际穿越》中，库珀他们的飞船是通过一个大黑洞的吸引力把自己甩到很远的行星上，这也是一种引力弹弓效应。这么省时省力的引力弹弓，到底什么？引力弹弓其实有个非常朴实的名字——引力辅助变轨。即利用飞掠星体时，利用该星体的万有引力，让航天器在变轨的同时，获得一个加速度。为什么未出现这种情况呢？先看一张图：假设那个黑球是地球，地球绕太阳公转时，航天器（小蓝点）从后方飞掠地球时，地球的引力会试图捕获航天器，但因为航天器速度太快了，它就会脱离引力，同时窃取到一些地球公转（图示方向为向下）的能量，进而实现了加速的效果。看，其实原理很简单吧？但是想利用这种弹弓效应达到理想的目的，需要经过精密的计算的。弹弓效应不光可以利用来加速，还可以用来减速。下方是我做的另一张GIF图：你可以看到，与上面的不用，这个航天器是从地球公转方向的前侧飞掠的（上面是从后侧），这个时候，弹弓效应就会降低航天器的动能，从而实现了减速的效果。弹弓效应不要宝贵的燃料，利用天体就实现了加速和减速的效果，又大大节省了时间，绝对算是“免费的午餐”了。这种效应早已被人类发现并应用到航天上。年美国土星探测器“卡西尼”号发射时只带了很少的燃料，它在年4月、年7月、年8月、年12月先后利用了四次弹弓效应（金星两次、地球一次、木星一次），最终于年7月1日抵到达土星。人类一直在为实现光速旅行而不断努力，而目前看来，借助弹弓效应，光速旅行是完全可以实现的。根据科学家的设想，如果能够找到足够质量的天体（如两个黑洞），人类就可以利用弹弓效应让航天器不断获得加速度，让航天器接近甚至达到光速，从而星际旅行成为可能。如果你想体验弹弓效应，不难，在一款游戏《坎巴拉太空计划》中，你可以利用自己设计的航天器体验下弹弓效应。有兴趣的，可以去体验下。